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勾股定理求最値
---文章选自中学生数理化七年级数学杂志
求立体图形中的最值是初中数学一种常见的题型,也是近年来各地中考的热点之一对这类问题,通常是先把立体图形转化为平面图形,再利用“两点之间线段最短”以及勾股定理,在平面中求出最值.下面举例说明,希望能对大家有所启发.
一、圆柱中的最值问题口
例1如图1,一个圆柱形油罐底面圆的周长为24 m,高为6m.一只壁虎从距底面1m高的A处沿油罐侧面爬行到相对的B处吃昆虫,它爬行的最短路线的长为多少?
分析:把圆柱侧面展开成平面图形、如图2,可以发现A,B分别在圆柱侧面展开图的宽的1m高处和长的中点处,根据“两点之问线段最短".AB即为最短路线。
解:AC-1-5 (m), BC-24x,=12 (m)
由勾股定理得AB-AC+BC-169, AB=13m,即为所求
二、正方体中的最值问题口
如图3,在棱长为1的正方体中,一只蚂蚊从顶点A出发,沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短路程是( )
A.3 B.Vs C.2 D.1
粗线的长度为VS+30 -s5V37,图62中粗线的长度为V1IS420-25,图63)中粗线的长度为V10425-s/29.因5V3725V29225,故应选B
例4图7所示的是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别等于5 dm,3 dm和1 dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点A点上有一只蚂蚁,它想沿着台阶表面爬到B点去吃可口的食物,它爬行的最短路程是多少?
分析:把正方体展开成平面图形(如图4)，AB的长即为所求。
解:如图4,可知AC-1,BG-2.
由勾股定理得AB-AC+BC-5,ABV5.选B.
三、长方体中的最值问题口
例3如图5,长方体的
长为15,宽为10,高为20.点201| B与点C的距离为5.一只姒4蚁如果要沿着长方体的表面
从点A爬到点B,它爬行的最短路程是( )
A.SV2I B.25 C. 10V5+5 D.35
解:蚂蚁若沿着长方体的表面从点A爬到点B,有如图6所示的3种情形,图60中
分析:由于蚂蚁沿台阶表面爬行,故可把台阶展开成平面图形,如图8.根据“两点之间线段最短"知AB为最短路线.
解:如图8,BC-3x3+3x1=12 (dm),AC=
由勾股定理得AB=13 dm,即为所求.
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