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中学生数理化八年级数学杂志在线阅读
“三数”档案解密
河南淅川县大石桥乡一中
刘振超
---文章选自中学生数理化八年级数学杂志
“三数”,即平均数、中位数和众数,用来反映一组数据的集中趋势.现将“三数”的性质予以整理,希望帮助同学们牢固掌握“三数”知识.
一、基本概念
算术平均数:一组数据中所有数据之和除以数据个数所得的商,就是这组数据的算术平均数,计算公武和—(nHx+t)》。
加权平均数:若数据x,X2,…,x。的权分别为w,w，…，w，则这些数据的加权平均数是x=ap-+xg0y+…+x,2nwy+wz+…+wn
中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间的一个数或最中间的两个数的平均数叫作这组数据的中位数.
众数:在一组数据中,出现次数最多的数叫作这组数据的众数.
二,相同点与不同点
相同点:平均数、中位数、众数都是重要的统计量,都是描述数据集中趋势的特征数.平均数和中位出的代价最高，数都有单位(众数表示的是数时,也有单位),它们的——爱因斯坦(德裔美国物理学家,1879--1955)单位和本组数据的单位相同。
不同点:（1）个数不同.在一组数据中，平均数和中位数都是唯一确定的.但众数不具有唯一性,可能不止一个,也可能没有。
(2)呈现形式不同.平均数是一个“虚拟”的数,它不一定是数据中的原始数据;中位数是一个不完全“虚拟”的数,当数据个数为偶数时,数据排序后,最中间的两个数不同时,它是一个“虚拟”的数,其他情况下都是数据中的一个原始数据;当数据中有众数时,众数是原始的数据.
(3)代表不同.平均数代表了数据的“平均水平”,中位数代表了数据的“中等水平”,众数代表了数据的“多数水平”。
(4)应用的场合不同,平均数与每一个数据有关,比较稳定可靠,是应用最广泛的特征数，但它容易受极端值的影响；中位数与数据的排列位置有关,不受极端值的影响；众数与数据出现的次数有关，也不受极端值的影响，但有时不唯一,不易确定.
三、平均数、中位数、众数的选用
选用平均数、中位数或众数来表示一组数据的集中趋势时,应遵循所谓的“多数原则”，即哪个特征数能代表这组数据的大多数,就选用这个特征数作为这组数据的代表.由于平均数易受极端值的影响,中位数与众数不受极端值的影响,所以当数据中有特别大或特别小的数时,应选用中位数或众数作为数据的代表;当没有特别大或特别小的数据时,应尽量选用平均数作为数据的代表。
四,重要性质
(1）一组数据中，每一个数不能都大于平均数,也不能都小于平均数,即至少有一个数不大于平均数,至少有一个数不小于平均数,
(2)已知一组数据xi,%2，…,x。的“三数”t,则新数据 ax+b,antz+b,…,ax,+b(a≠O)的“三数”为 at+b.如数据 x1,X2,…,X,的平均数是 x,中位数是 y,众数是 z,则数据 5x-2,5x.-2,…,5x,-2 的平均数是 5k-2,中位数是 5y-2,众数是 5z-2.
(3)如果一组数据从小到大排列为x1，巧,…x,其平均数是x,中位数是 m,,另一组数据从小到大排列为yi.y,…,.,其平均数是了,中位数是 m,,那么数据xi+y,X2+y3,…，xty的平均数是:c+y,中位数是 m.+m,,众数不确定。
(4)如果数据 xi,*2，…,*.的平均数是x,数据 y1.32,…,y的平均数是了,那么数据划，%2，”…,X11,%，…%的平均数是nx+my」n+m中位数、众数不确定.
——萧伯纳(爱尔兰剧作家,1856—1950)
松石数盛。配合人教社教材
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